【轉(zhuǎn)發(fā)說明】

本文為 北大附中退休數(shù)學(xué)教師王鵬遠(yuǎn)老師為紀(jì)念中國計算機(jī)輔助教學(xué)領(lǐng)路人、畢生致力于用信息化推動教育變革的 北京大學(xué) 林建祥先生所寫的一篇文章。

王鵬遠(yuǎn)老師在國內(nèi)是最早一批研究計算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)、并長期開展一線教學(xué)實(shí)踐的數(shù)學(xué)教育技術(shù)研究者、實(shí)踐者，在MathTool、《幾何畫板》、《超級畫板》等數(shù)學(xué)工具如何在教學(xué)中應(yīng)用大量、深入的研究，著有 《如何用幾何畫板教數(shù)學(xué)》、《少年數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》等多本著作。

(相關(guān)資料圖)

我在剛開始工作時，就與林建祥先生、王鵬遠(yuǎn)老師有很多交流，直到林先生千古之前的兩年，我還和王鵬遠(yuǎn)老師到林先生家看望，留下了我與林先生的最后一張合影（中為林建祥先生，左為王鵬遠(yuǎn)老師，右圖為我）。

前日王鵬遠(yuǎn)老師向我發(fā)來他的這篇紀(jì)念文章，特在我的公眾號轉(zhuǎn)發(fā)，共同緬懷林建祥老先生。如您也與林建祥先生有所交集，歡迎文后留言，共同奠念！

以下為王鵬遠(yuǎn)老師所撰寫的原文。

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林先生走了，但他和善的音容笑貌總是揮之不去，不時浮現(xiàn)在眼前。他對教育事業(yè)的忠誠與執(zhí)著追求，他對人們的熱情相助平易近人的品格永遠(yuǎn)銘刻在我們的記憶之中。

我與林先生是1990年相識的，是他把我這樣一個計算機(jī)的門外漢，一個普通的中學(xué)數(shù)學(xué)教師領(lǐng)進(jìn)門，開啟了30多年計算機(jī)與數(shù)學(xué)學(xué)科整合的實(shí)踐探索，30多年以來，林先生一直給我以熱情的指導(dǎo)、鼓勵和支持，我的點(diǎn)滴進(jìn)步與取得的成績是與林先生分不開的。

教育信息化是我國21世紀(jì)教育改革的一個重大工程，而信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)的有效融合又是其中一個十分重要的課題，從這個角度看，林先生與他領(lǐng)導(dǎo)的北大CAI研究室應(yīng)該被視為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科整合的開拓者和領(lǐng)路人。如果追述這個領(lǐng)域的源頭，作為親歷者，我以為應(yīng)該從Mathtool談起，現(xiàn)在沒有人再提起它（或許根本不知道曾有這個工具軟件）。

還是在1990 年，北京大學(xué)電教中心的林建祥 和朱萬森 教授第一次給我們中學(xué)老師展示了計算機(jī)課件。我們第一次看到了二次函數(shù)圖像如何隨系數(shù)的變化而變化，第一次聽到 CAI ( 計算機(jī)輔助教學(xué)) 這個名詞，眼界一下子打開了。接著我們寫腳本由北大的老師幫助我們制作課件，不久, 我們也可以借助Mathtool 自己制作一些簡單的課件了。

Mathtool拉近了一線數(shù)學(xué)教師與計算機(jī)的距離，教師無需編程可以借助于這個工具自己開發(fā)課件。這件事意義重大、影響深遠(yuǎn)，它陸續(xù)把越來越多的一線數(shù)學(xué)教師帶入到這個領(lǐng)域，成為信息技術(shù)與學(xué)科整合的主力軍。教師可以根據(jù)教學(xué)的需要把信息技術(shù)引入課堂，取得良好的教學(xué)效果。

我還記得第一個用Mathtool開發(fā)的課件是“ 冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)”（如下圖），針對的是教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生不容易理解冪函數(shù)中對冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)的影響， 整理不出規(guī)律。

計算機(jī)準(zhǔn)確快速的畫圖大大提高了課堂效率，同時圖像的動態(tài)顯示直觀揭示了冪函數(shù)的性質(zhì)，取得了滿意的教學(xué)效果，深受學(xué)生歡迎。

當(dāng)然，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科的整合不是一帆風(fēng)順的，其中一個爭論不休的問題是 如何處理數(shù)學(xué)的抽象，記得 93年一天中午回家的路上，林先生和我討論這個問題，林先生說，就是在北大，一些數(shù)學(xué)系的教授也不贊成在教學(xué)中使用計算機(jī)，理由是數(shù)學(xué)是高度抽象的學(xué)科，計算機(jī)在這里起不了什么積極作用。我與林先生取得的共識是，不妨先擱置爭論做起來再說，也許通過一段教學(xué)實(shí)踐返回來討論會對爭論的問題有進(jìn)一步的認(rèn)識，一個原則是計算機(jī)應(yīng)能有助于加深學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

當(dāng)時我正在教高二，需要講解數(shù)列的極限。于是設(shè)計了腳本，利用Mathtool 開發(fā)出課件“ 數(shù)列的極限”，隨后在北京大學(xué)電教中心網(wǎng)絡(luò)教室進(jìn)行了教學(xué)實(shí)驗(yàn)。實(shí)踐表明，學(xué)生通過使用這個課件理解了數(shù)列極限的 “ε-N”定義，取得了意想不到的好的教學(xué)效果。

數(shù)列極限的“ε-N”定義是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn)，但現(xiàn)在 借助計算機(jī)這個困難居然被克服了。這給了我們極大的鼓舞。 我們在1994 年12 期“數(shù)學(xué)通報”上發(fā)表了 《從教學(xué)軟件“數(shù)列的極限”引發(fā)的思考》一文中談了我們的體會。這是國內(nèi)在學(xué)術(shù)期刊上第一次討論計算機(jī)在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何處理抽象的數(shù)學(xué)概念的文章。

這個軟件的使用效果給我們的啟發(fā)是深刻的。它說明計算機(jī)能夠改善數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，我們的體會是：

1、通過電腦“一對一 ”的教學(xué)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的個別化 ，一改過去學(xué)生“聽老師講”，過分依賴教師的語言去思考的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生可以根據(jù)適合自己的節(jié)奏主動閱讀和思考。課件相當(dāng)于教師的代言人，在和每一位同學(xué)進(jìn)行“一對一”的交流，而學(xué)生在教師借助電腦設(shè)計的更富有啟發(fā)性的教學(xué)情境中直接去思考數(shù)學(xué)事實(shí)本身。學(xué)生在這里動手、動腦、觀察、思考、閱讀、討論、質(zhì)疑，其學(xué)習(xí)內(nèi)容和思維活動比傳統(tǒng)課堂要豐富得多。教師通過計算機(jī)調(diào)動了所有學(xué)生的積極參與，自己去想通極限的概念。

2、 設(shè)置問題情境并提供生動直觀的背景材料，“可視化”有助于抽象概念的理解

數(shù)學(xué)離不開抽象，而抽象是個復(fù)雜的思維過程。離開具體的抽象，只能使數(shù)學(xué)概念成為空洞的文字與數(shù)學(xué)符號的組合，越是抽象的概念越要從最現(xiàn)實(shí)的問題出發(fā)，越需要感性直觀的背景材料幫助理解，數(shù)列極限的概念也是這樣。

為讓學(xué)生理解無限制地靠近常數(shù)A，我們讓計算機(jī)一個一個地在數(shù)軸上顯示對應(yīng)前幾個點(diǎn)，當(dāng)這些點(diǎn)與表示常數(shù)A的點(diǎn)足夠近時，屏幕上有這樣一句話“隨著n的增加，這一系列點(diǎn)與表示常數(shù)A的點(diǎn)足夠靠近，以至于我們不得不用放大鏡觀察”，隨后屏幕出現(xiàn)一個模擬的 放大鏡把數(shù)軸的這一部分局部放大，繼續(xù)反映 逼近常數(shù)A的過程。于是學(xué)生就可以通過一系列的數(shù)字和點(diǎn)列“看到”數(shù)列趨向某一常數(shù)的過程。計算機(jī)的可視化與快速計算功能顯示出了特有的優(yōu)勢。

3、創(chuàng)設(shè)人機(jī)交互的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境

在通過直觀形象的例子初步建立數(shù)列極限的概念之后，難點(diǎn)在于如何理解形式化表達(dá)的數(shù)列極限定義中的“對于事先給定的無論多么小的正數(shù)ε，都存在一個正整數(shù)N，當(dāng)時不等式恒能成立。”在傳統(tǒng)課堂上，我們通常令ε=0.1、 0.01等等，很難體現(xiàn) ε的任意性。利用計算機(jī)則可以輸入任意小的整數(shù)得到相應(yīng)的 N和隨后的幾項的數(shù)值。

我們安排了以下一個練習(xí)題：

除了在計算機(jī)屏幕上呈現(xiàn)這個數(shù)列的前10項并在數(shù)軸上描出表示這10項的點(diǎn)外，屏幕上還提示學(xué)生做下面的實(shí)驗(yàn)；“請鍵入你認(rèn)為很小的正數(shù)ε并觀察相應(yīng)的N，以及N以后五項與的誤差。”于是學(xué)生可以自由地做實(shí)驗(yàn)，直到他們認(rèn)可了對于事先給定的無論多么小的正數(shù)ε，都存在一個正整數(shù)N，第

例如學(xué)生在鍵入了ε=0.007564后，屏幕馬上呈現(xiàn)下面的表 (N=32)

在這以后學(xué)生可以根據(jù)自己的需要在屏幕上看到嚴(yán)格的證明過程。連續(xù)三年在我的教學(xué)中使用了這個課件都取得了良好的效果。

這個課件的設(shè)計得到了林先生的指導(dǎo)， 他提出借助計算機(jī)創(chuàng)設(shè)“微世界”以及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的環(huán)境給了我設(shè)計的靈感。

1994 年，實(shí)驗(yàn)開始擴(kuò)大，在原教育部中小學(xué)計算機(jī)教育研究中心（北京部）的支持下由海淀區(qū)四所學(xué)校成立了海淀數(shù)學(xué)CAI課題組。這個課題組的活動內(nèi)容包括由朱萬森教授教會教師Mathtool的技術(shù)操作，輪流組織研究課相互交流。

當(dāng)時北京大學(xué)的林建祥教授、北京師范大學(xué)的鐘善基教授、教育部中小學(xué)計算機(jī)教育研究中心（北京部）副主任唐玲老師等專家都親臨課堂聽課，具體指導(dǎo)，與老師們面對面地討論。我們走的是一條密切結(jié)合學(xué)科教學(xué)關(guān)注教學(xué)實(shí)效之路，是一條由專家引領(lǐng)一線教師積極參與之路。下圖是林先生深入課堂觀摩教學(xué)后進(jìn)行點(diǎn)評的照片。

技術(shù)在飛速地進(jìn)步，1995 年“ 幾何畫板”軟件引入我國，它把動態(tài)幾何引入了數(shù)學(xué)教學(xué)，我們課題組在全國率先進(jìn)行了這一工具軟件的實(shí)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上 98 年編寫了 《如何用幾何畫板教數(shù)學(xué)》一書由人民教育出版社出版。林先生看到了這一工具的優(yōu)勢大力宣傳這一工具軟件并繼續(xù)支持我們的實(shí)驗(yàn)。

這里值得一提的是林先生敏銳地注意到我國數(shù)學(xué)家吳文俊院士在幾何定理的機(jī)器證明方面開創(chuàng)性的工作，以及隨后張景中院士在機(jī)器證明可視化方面的創(chuàng)新，把我介紹給張景中院士，這樣我得以在2000 年之后的20 年間協(xié)助張院士推廣國產(chǎn)軟件 “超級畫板”。

我們的工作受到有關(guān)方面的關(guān)注，98年我受邀在教育電視臺開辦講座對教師進(jìn)行培訓(xùn)，下圖是林先生和我共同參與講座的照片，討論信息技術(shù)如何能與學(xué)科教學(xué)進(jìn)行有效整合。

林先生思想敏銳，視野開闊，從Mathtool到幾何畫板，再到超級畫板和網(wǎng)絡(luò)畫板以及人工智能，他總是追蹤技術(shù)發(fā)展的前沿，及時給我們提供最新信息，不時打電話了解我們工作的進(jìn)展，給我們提供盡可能的幫助。例如，他促使惠普公司一次無償給北大附中提供50多臺圖形計算器，希望我們學(xué)校做出成績。

林先生活到老，學(xué)到老、奮斗到老，他把一生貢獻(xiàn)給他摯愛的教育事業(yè)。我永遠(yuǎn)不能忘記他90多歲高齡，還積極參加學(xué)術(shù)會議，把我們邀請到家中與我們進(jìn)行一次次學(xué)術(shù)探討。他的人格魅力永遠(yuǎn)是我們學(xué)習(xí)的榜樣。

林先生走了，他給我們留下了豐富的精神遺產(chǎn)。林先生千古！